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Il problema:

Bisogna disporre quattro lamierini da 10, 20, 40 e 40 centimetri per formare i bordi di una teglia di area massima.

 

Soluzione:

Prima osservazione: il quadrilatero ottenuto deve essere convesso, altrmenti si può ottenere un quadrilatero di area maggiore semplicemente orientando diversamente i due lati che danno origine all’angolo concavo.
Seconda osservazione: non è importante l’ordine con cui si susseguono i bordi.
Infatti consideriamo una diagonale del quadrilatero, se invertiamo l’ordine dei due lati che si trovano dallo stesso lato della diagonale otteniamo, con essa, un nuovo triangolo che ha però i lati della stessa lunghezza e perciò uguale area.
Considererò perciò il quadrilatero in cui sono intervallati i lati di 10, 40, 20, 40 centimetri.

Per determinare larea del quadrilatero si potrebbe utilizzare la formula di Brahamagupta:

dove p il semiperimetro, a, b, c, d la lunghezza dei lati e θ la semisomma di due angoli opposti.
Dalla formula si pu osservare che pi la somma degli angoli opposti si avvicina ad un angolo piatto, maggiore larea del quadrilatero.
Un modo alternativo quello di considerare i due triangoli nei quali diviso il quadrilatero da una diagonale e determinare larea del quadrilatero come somma delle aree dei due triangoli.
In questo modo si pu determinare larea del quadrilatero al variare della lunghezza della diagonale e cercare il massimo della funzione.
Questo secondo metodo permette anche di avere un criterio semplice per la costruzione della teglia, infatti pi facile misurare la diagonale con un metro che misurare un angolo con un goniometro.
Per determinare larea dei due triangoli si pu applicare la formula di Erone: che preferibile utilizzare nella forma .
Facendo riferimento alla figura si ha
La funzione presenta un massimo per x ≈ 42,43 cm come mostrato nel grafico e larea corrispondente di circa 595,294 cm2.

Qui sotto possibile impostare la lunghezza dei quattro lati e determinare forma ed area del quadrilatero di area massima.

a: b: c: d: incertezza:
  
La diagonale che rende massima l'area del quadrilatero di 42.43 cm e l'area di 595.294 cm2

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