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Il problema:

Bisogna disporre quattro lamierini da 10, 20, 40 e 40 centimetri per formare i bordi di una teglia di area massima.

 

Soluzione:

Prima osservazione: il quadrilatero ottenuto deve essere convesso, altrmenti si può ottenere un quadrilatero di area maggiore semplicemente orientando diversamente i due lati che danno origine all’angolo concavo.
Seconda osservazione: non è importante l’ordine con cui si susseguono i bordi.
Infatti consideriamo una diagonale del quadrilatero, se invertiamo l’ordine dei due lati che si trovano dallo stesso lato della diagonale otteniamo, con essa, un nuovo triangolo che ha però i lati della stessa lunghezza e perciò uguale area.
Considererò perciò il quadrilatero in cui sono intervallati i lati di 10, 40, 20, 40 centimetri.

Per determinare l’area del quadrilatero si potrebbe utilizzare la formula di Brahamagupta:

dove p è il semiperimetro, a, b, c, d la lunghezza dei lati e θ è la semisomma di due angoli opposti.
Dalla formula si può osservare che più la somma degli angoli opposti si avvicina ad un angolo piatto, maggiore è l’area del quadrilatero.
Un modo alternativo è quello di considerare i due triangoli nei quali è diviso il quadrilatero da una diagonale e determinare l’area del quadrilatero come somma delle aree dei due triangoli.
In questo modo si può determinare l’area del quadrilatero al variare della lunghezza della diagonale e cercare il massimo della funzione.
Questo secondo metodo permette anche di avere un criterio semplice per la costruzione della teglia, infatti è più facile misurare la diagonale con un metro che misurare un angolo con un goniometro.
Per determinare l’area dei due triangoli si può applicare la formula di Erone: che è preferibile utilizzare nella forma .
Facendo riferimento alla figura si ha
La funzione presenta un massimo per x ≈ 42,43 cm come mostrato nel grafico e l’area corrispondente è di circa 595,294 cm2.

Qui sotto è possibile impostare la lunghezza dei quattro lati e determinare forma ed area del quadrilatero di area massima.

a: b: c: d: incertezza:
  
La diagonale che rende massima l'area del quadrilatero è di 42.43 cm e l'area è di 595.294 cm2